15.08.
2009

Zahlensysteme

Die Informatik kommt nicht nur mit dem allseits bekannten dezimalen (z.B. bei IP-Adressen) Zahlensystem aus. Für bestimmte Anwendungen werden auch andere Zahlensystem verwendet, vor allem das oktale (z.B. bei UNIX-Berechtigungen), das hexadezimale (z.B. bei MAC-Adressen) und das binäre (z.B. in der Programmierung) Zahlensystem.

Zahlenwerte im Vergleich
Binär Oktal Dezimal Hexadezimal
0 0 0 0
1 1 1 1
10 2 2 2
11 3 3 3
100 4 4 4
101 5 5 5
110 6 6 6
111 7 7 7
1000 10 8 8
1001 11 9 9
1010 12 10 A
1011 13 11 B
1100 14 12 C
1101 15 13 D
1110 16 14 E
1111 17 15 F

Zahlensysteme im Vergleich

System Nennwerte Basis Kennzeichnung
Binär 0, 1 2 Index 2 oder B
Oktal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8 Index 8 oder O
Dezimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10 Index 10 oder D
Hexadezimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 16 Index 16, H oder
vorangehendes 0x

Umrechnungsverfahren

Binär » Oktal

Je 3 Stellen der Binärzahl (beginend beim Komma) zusammenfassen, ggf. Binärzahl mit Nullen auf 3 Stellen auffüllen.

010011010010,001
2322,1

10011010010,0012 = 2322,18

Binär » Dezimal

Potenzwert-Verfahren
Jede Binäreins wird mit ihrer Wertigkeit multipliziert, die so entstehenden Produkte werden addiert.

21029282726252423222120
2-12-22-3
10011010010,001
1 * 210 + 1 * 27 + 1 * 26 + 1 * 24 + 1 * 21 + 1 * 2-3 = 1234,12510

Horner-Schema

10011010010
2 * 1+0









= 2
2 * 2
+0








= 4
2 * 4

+1







= 9
2 * 9


+1






= 19
2 * 19



+0





= 38
2 * 38




+1




= 77
2 * 77





+0



= 154
2 * 154






+0


= 308
2 * 308







+1

= 617
2 * 617








+0
= 1234
0,001

1
:2 = 0,5
(0  + 0,5):2 = 0,25
(0   + 0,25):2 = 0,125

10011010010,0012 = 1234,12510

Binär » Hexadezimal

Je 4 Stellen der Binärzahl (beginend beim Komma) zusammenfassen, ggf. Binärzahl mit Nullen auf 4 Stellen auffüllen.

010011010010,0010
4D2,2

10011010010,0012 = 0x4D2,2

Oktal » Binär

Jede oktale Stelle entspricht 3 Binärstellen.

2322,1
010011010010,001

2322,18 = 10011010010,0012

Oktal » Dezimal

Herangehensweise ist analog zu Binär » Dezimal.

Potenzwert-Verfahren
Jeder Oktalwert wird mit ihrer Wertigkeit multipliziert, die so entstehenden Produkte werden addiert.

83828180
8-1
2322,1
2 * 83 + 3 * 82 + 2 * 81 + 2 * 80 + 1 * 8-1 = 1234,12510

Horner-Schema

2322
8 * 2+3

= 19
8 * 19
+2
= 154
8 * 154

+2= 1234
0,1

1
:8 = 0,125

2322,18 = 1234,12510

Oktal » Hexadezimal

Hierfür gibt es kein praktikabeles Umrechnungsverfahren. Um doch zu einem Ergebnis zu kommen, erst die oktale in eine binäre und diese dann in eine hexadezimale Zahl umrechnen (der Weg über eine dezimale zur hexadezimalen Zahl ist ebenso möglich).

2322,18 = 10011010010,0012 = 0x4D2,2

Dezimal » Binär

Divisionsverfahren
Zuerst die Stellen vor dem Komma nehmen und immer wieder durch die Basis 2 dividieren. Die Reste ergeben von unten gelesen das Ergbnis. Bei den Nachkommastellen wird ähnlich vorgegangen: Immer mit 2 multiplizieren. Die Vorkommastellen des Ergebnis bilden das Ergebnis (von oben aus gelesen). So lange mit 2 multiplizieren bis das Ergebnis eine ganze Zahl ist.

1234 : 2 = 617Rest 0
617 : 2 = 308Rest 1
308 : 2 = 154Rest 0
154 : 2 = 77Rest 0
77 : 2 = 38Rest 1
38 : 2 = 19Rest 0
19 : 2 = 9Rest 1
9 : 2 = 4Rest 1
4 : 2 = 2Rest 0
2 : 2 = 1Rest 0
1 : 2 = 0Rest 1
0,125 * 2 = 0,25
0,25 * 2 = 0,5
0,5 * 2 = 1,0

1234,12510 = 10011010010,0012

Dezimal » Oktal

Herangehensweise ist analog zu Dezimal » Binär.

1234 : 8 = 154Rest 2
154 : 8 = 19Rest 2
19 : 8 = 2Rest 3
2 : 8 = 0Rest 2
0,125 * 8 = 1

1234,12510 = 2322,18

Dezimal » Hexadezimal

Herangehensweise ist analog zu Dezimal » Binär.

1234 : 16 = 77Rest 2
77 : 16 = 4Rest D (13)
4 : 16 = 0Rest 4
0,125 * 16 = 2

1234,12510 = 0x4D2,2

Hexadezimal » Binär

Jede hexadezimale Stelle entspricht 4 Binärstellen.

4D2,2
010011010010,0010

0x4D2,2 = 10011010010,0012

Hexadezimal » Oktal

Hierfür gibt es kein praktikabeles Umrechnungsverfahren. Um doch zu einem Ergebnis zu kommen, erst die hexadezimale in eine binäre und diese dann in eine oktale Zahl umrechnen (der Weg über eine dezimale zur oktalen Zahl ist ebenso möglich).

0x4D2,2 = 10011010010,0012 = 2322,18

Hexadezimal » Dezimal

Herangehensweise ist analog zu Binär » Dezimal.

Potenzwert-Verfahren
Jeder Oktalwert wird mit ihrer Wertigkeit multipliziert, die so entstehenden Produkte werden addiert.

162161160
16-1
4D2,2
4 * 162 + 13 * 161 + 2 * 160 + 2 * 16-1 = 1234,12510

Horner-Schema

4D2
16 * 4+13
= 77
16 * 77
+2= 1234
0,2

2
:16 = 0,125

0x4D2,2 = 1234,12510

Web-Links / Literatur
[1] https://www.jenshohmann.de/zahlenumrechner Zahlen-Umrechner
[2] http://www.elektronik-kompendium.de/sites/dig/0208031.htm
[3] http://www.its05.de/html/zahlensysteme.html
[4] http://www.linuxhilfen.org/c/c_aufsteiger_zahl.html
[5] http://www.dagmar-mueller.de/wdz/Zahlen/Zahlensysteme/zahlensysteme.html

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